PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE NUMERACIÓN BINARIA ( I )

Problema: Escribir un conteo normal de 20 objetos usando el sistema numérico base 4.

Problema: ¿A cuánto equivale el número 13 decimal en sistema numérico base 6?

El número 13 en sistema decimal equivale al número 21 en sistema base 6. Simbólicamente:

13₁₀ = 21₆

Problema: Convertir el número 20 al sistema base 4 usando el método de división sucesiva.

Aplicando el método de la división sucesiva, tenemos lo siguiente:

La equivalencia del número decimal 20 a su correspondiente 1104 en el sistema base 4 se puede representar de la siguiente manera:

20₁₀ = 110₄

Obsérvese cómo para convertir el número 20 decimal al número 110 en sistema base 4, dividimos primero el número (20) entre la base (4) destacando el primer residuo (0). El cociente de la primera división (5) se vuelve a dividir entre la base (4) agregando agregando el residuo de la segunda división (1) al residuo de la primera (0) para ir formando el número. Puesto que el segundo cociente (1) ya no se puede dividir entre 4, con el segundo cociente (1), el segundo residuo (1) y el primer residuo (0) formamos el número 110 en el sistema numérico base 4.


Problema: Convertir el número 19 al sistema base 2 usando el método de la división sucesiva.

Procedemos del mismo modo que en el problema anterior:

Simbólicamente, podemos expresar el resultado de la manera siguiente:

19₁₀ = 10011₂

Problema: Convertir el número 49 al sistema base 3 usando el método de la división sucesiva y comprobar el resultado haciendo una tabla.

Simbólicamente, podemos expresar el resultado de la manera siguiente:

49₁₀ = 1211₃

La tabla completa de equivalencias hasta llegar al número deseado, en la cual se ha destacado en color ciano la numeración ascendente en sistema decimal, es la siguiente:

Obviamente, resulta mucho más cómodo inclusive para números medianamente pequeños recurrir al método de la división sucesiva que tratar de llegar a un equivalente en otra base numérica mediante la construcción de una tabla.


PROBLEMA: Transformanndo los números decimales 13 y 25 en sus equivalente binarios, sumar dichos números tanto en el sistema decimal como en el sistema binario, poniendo ambas resoluciones la una junto a la otra con el fin de comparar las similitude. Tras esto, conviértase la respuesta binaria a su equivalente decimal usando la tabla de potencias de 2 con el fin de checar la respuesta obtenida de la adición binaria.

Primero se llevará a cabo la "descomposición" de los números 13 y 25 en sus equivalentes en el sistema base 2:

A continuación, se llevará a cabo la suma de los números decimales 13 y 25, junto con la suma binaria de los números 1101 y 11001:

En la suma decimal, para sumar 25 y 13 en la forma en la que estamos acostumbrados, acumulando la respuesta de derecha a izquierda, primero decimos "5 más 3 es igual a 8". En este caso, como la suma parcial no excede de 10, no "llevamos" una unidad para ser sumada a las decenas. El siguiente dígito lo obtenemos diciendo "2 más 1 es igual a 3". Con esto, tenemos el resultado mostrado arriba, que es 38. Veamos ahora cómo se llevó a cabo la suma binaria. Para llevar a cabo la suma binaria, procedemos exactamente de la misma manera, empezando de izquierda a derecha decimos "uno más uno es igual a 10" (recuérdese que en el sistema binario, no existe un símbolo para representar el número 2). Anotamos el cero abajo (puesto en color amarillo) y decimos "anotamos cero y llevamos uno". En la siguiente columna de dígitos, procediendo de izquierda a derecha al igual que como lo hacemos en el sistema decimal, decimos "cero más cero es igual a cero, más el uno que llevábamos es igual a uno". Anotamos este uno a la izquierda del cero que habíamos escrito antes, con lo cual tenemos ya un resultado cumulativo de "10" en color amarillo, procediendo a la siguiente columna de dígitos en donde decimos: "cero más uno es igual a uno, y como no traíamos nada de la adición anterior, anotamos éste uno". Tenemos ya una respuesta cumulativa de "110". Nos vamos a la siguiente columna de dígitos en donde decimos: "uno más uno es igual a 10, y como no traíamos nada de la adición anterior, anotamos cero y llevamos uno". Nuestra respuesta cumulativa lee ya "0110". Así llegamos a la última columna a la izquierda, en donde tenemos únicamente el "1" con el cual decimos "tenemos uno, más el uno que traíamos de la adición anterior, es igual a 10, y como ya no hay más dígitos para sumar, anotamos este 10 para concluír la adición binaria". De este modo, el resultado de la suma binaria es igual al número binario:

100110

Con el fin de checar nuestra respuesta, el equivalente decimal de este número de acuerdo con la tabla de potencias de 2 resulta ser:

100110₂ = (1)2⁵ + (0)2⁴ + (0)2³ + (1)2² + (1)2¹ + (0)2⁰

100110₂ = 32 +0 + 0 + 4 + 2 + 0

100110₂ = 38₁₀

PROBLEMA: Sumar los cuatro números binarios cuyas representaciones hexadecimales son 25h, 62h, 3Fh y 52h.

Los cuatro números hexadecimales, convertidos a la representación binaria, son:

25h = 0010 0101

62h = 0110 0010

3Fh = 0011 1111

52h = 0101 0010

La suma de estos cuatro números se muestra a continuación:

El resultado de la suma, 100011000, se puede representar tambié como su equivalente hexadecimal 118h.


PROBLEMA: Multiplicar los números 13 y 25 convirtiendo cada uno a simbolismo binario, multiplicando las cifras binarias obtenidas, y llevando a cabo la conversión del resultado obtenido a simbolismo decimal.

Los equivalentes binarios de los números decimales 13 y 25 ya fueron obtenidos en el problema anterior, resultando ser 1101 y 11001. Con esto, podemos llevar a cabo la multiplicación en forma similar a como se lleva a cabo en el sistema decimal al cual estamos acostumbrados:

Obsérvese que llevar a cabo una multiplicación binaria pura es mucho más fácil de lo que parece ser a primera vista, ya que en realidad sólo se requiere estar llevando a cabo adiciones sucesivas del multiplicando de acuerdo con el valor que tenga cada uno de los dígitos binarios del número que sea escogido como multiplicador. Si aumentamos la capacidad de bits, podemos estar llevando a cabo multiplicaciones de números realmente grandes sin mayor inversión intelectual que la que ya hemos hecho, y esta multiplicación se llevará a cabo a una rapidez electrónica. ¡No en vano desde hace más de un siglo los inventores humanos se esforzaron por crear máquinas que pudieran llevar a cabo este tipo de operaciones aritméticas a velocidades admirables!

Puesto que el producto de los números decimales 13 y 25 es el número 325, podemos checar nuestra respuesta convirtiendo el número binario obtenido a su equivalente decimal, el cual debe ser también 325. El procedimiento para ello se muestra a continuación:

101000101₂ = (1)2⁸ + (0)2⁷ + (1)2⁶ + (0)2⁵ + (0)2⁴ + (0)2³ + (1)2² + (0)2¹ + (1)2⁰

101000101₂ = 256 + 64 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1

101000101₂ = 325₁₀

PROBLEMA: Representar en el sistema BCD los siguientes números:

A) 50123
B) 37
C) 4856
D) 102
E) 3971
F) 74
G) 95437

La representación en el sistema BCD de los números indicados se muestra a continuación: